Дана последовательность чисел 1, 2, 3,...2n. Сколькими способами можно извлечь из неё три числа, из которых можно построить арифметическую прогрессию?

Второе число в арфиметической прогрессии из трех элементов однозначно определяется первым и третьим как их полусумма. Поэтому достаточно выбрать любые два числа из этого ряда (они будут первым и третьим элементами) так, чтобы их полусумма была целым числом. Это возможно когда оба числа нечетные или оба четные. Т.к. в ряду 1,...,2n количество четных равно количеству нечетных, т.е. n, то два четных числа можно выбрать C_n^2 способами и столькими же способами можно выбрать два нечетных числа. Итак, общее количество способов равно 2C_n^2=n^2-1.