В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 30 градусов вписан прямоугольник, сторона которого лежит на гипотенузе. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Спасибо большое. Все замечательно объяснено.

Пусть стороны прямоугольника х и у ( cм. рисунок)Равные углы отмечены одинаковым цветом.Катет против угла в 30°  равен половине гипотенузы.Треугольник розового цвета и сиреневого цвета подобны.Из подобияу : (4-(х/4))=(12-(3х/4)):уу²=(12-(3х/4))·(4-(х/4))y²=48-6x+(3x²/16)S=x·y=x·sqrt(48-6x+(3x²/16))Исследуем функциюS(x)=x·sqrt(48-6x+(3x²/16)) на экстремум.Внесем х под кореньS(x)=sqrt(48x²-6x³+(3x⁴/16))Функция S(x) принимает наибольшее значение в тех же точках,  в которых принимает наибольшее значение подкоренное выражениеP(x)=48x²-6x³+(3x⁴/16))P`(x)=96x-18x²+(3x³/4)P`(x)=096x-18x²+(3x³/4)=0x·(384-72x+3x²)=03x²-72x+ 384=0D=72²-4·3·384=5184-4608=576x₁=(72-24)/6=8  или  х₂=16у₁=sqrt(12)        или  y₂=sqrt(48-6·16+(3·256/16))=0О т в е т. 8 и √12