Вычислить определенный интеграл [tex] \int\limits^b_a {sin(x)} \, dx [/tex]. Сложное задание, 11 клас.

Да всё правильно)

Я же говорю, нельзя использовать производную. Потому оно и сложное, потому и 99 баллов!

Тут через сумму бесконечного ряда нужно!

Это гениально! Большое спасибо!

Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков:∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]Здесь были применены формулыcos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2ny было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)