Сколько корней уравнения sinx+cosx=√2 принадлежит отрезку [-П; 2П]

Ответы 1

Область допустимых решений уравнения: $sinx+cosx\ \textgreater \ 0$ ; Возведем в квадрат обе части уравнения. При возведении в квадрат могут получиться побочные решения, так как область допустимых решений после возведения в квадрат обеих частей уравнения расширяется (sinx+cosx<0). $sin^{2}x+2sinxcosx+ cos^{2}x=2; sin^{2}x+ cos^{2} x=1; 2sinxcosx=sin2x;$ Тогда $sin2x=1; 2x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n$ , n∈Z;Решение в общем виде: $x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n$ , n∈Z;На промежутке $[- \pi ; 2 \pi ]$ : $x_{1}=- \frac{3}{4} \pi , x_{2}= \frac{ \pi }{4}, x_{3}= \frac{5}{4} \pi .$ Однако при $x_{1}= -\frac{3}{4} \pi, x_{3}= \frac{5}{4} \pi , sinx+cosx\ \textless \ 0;$ Это решения уравнения, возведенного в квадрат, которые для исходного уравнения не подходят, т.к. область допустимых решений исходного уравнения sinx+cosx>0; Поэтому решение единственное $x= \frac{ \pi }{4}.$
- Автор:
  raphaelyezm
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы