Решить уравнение [tex]\displaystyle x^{\displaystyle x^x}=x[/tex] [tex]\ \ (x\ \textgreater \ 0)[/tex]

x^x^x=x^(x^x), а не (x^x)^x. Кроме того, случай x=1 Вы потеряли

Из 1^t = 1, естественно, не следует, что t = 1. Но причём здесь это? В какую степень надо возвести любое число, чтобы получилось оно же?

Единицу в какую степень ни возводи, все равно получится единица

Знаю, но причём здесь это? В какую степень надо возвести ЛЮБОЕ ЧИЛО, чтобы получилось ТОЖЕ САМОЕ ЧИСЛО?

Возьмем такое уравнение: x^(2x)=x. Решениями будут x=1 и x=1/2

В принципе основание показательной функции может равняться 1

Как же быть с определением в учебнике?

Скорее всего в учебнике написано, что при a=1 показательная функция принимает только одно значение и поэтому интереса не представляет. Но это не означает, что я не могу 1 возвести в ту степень, в которую мне хочется

Да, будут! x^(2x)=x; x^(2x) : x = x : x (при x≠0); x^(2x-1)=1; ln[x^(2x-1)=ln(1); (2x-1)*ln(x)=0; 1) 2x-1=0 и x=1/2; 2) ln(x)=0 и x=1. Точно такое же можно проделать для исходного уравнения, но это нам даст всё тот же корень x=1. Вернёмся к первому замечанию. Как понимаю, в x^t=x вы видите ещё один корень t=a≠1. Однако когда вернёмся к x^x=a, то его решением не будет х=1, что невозможно в силу того, что икс возведённый в степень не равную 1 не будет равен самому себе. Остаётся, t=1.

Показательной функцией называется функция заданная формулой y=а^x,где а>0 и a≠1.JОпределение из учебника!Как же быть нам ученикам?

Пусть t = x^x, тогда x^t = x. Значит, t = 1. Возвращаемся к исходной переменной: t = x^x = 1. Следовательно, x = 1.