сколько целых чисел входят в область значений функций?
[tex]y= \sqrt{6+2(sin^{2}x-3sin4x )+cos2x+cos8x} [/tex]

Отыщем область значений указанной функции. Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с помощью формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла. Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена.  Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:. Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при . Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. В частности, это происходит и на отрезке . Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка. Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке -1). То есть,, где .То есть, .А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт . Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.0, 1, 2, 3 - и всё. Их ровно 4.