[tex] \left \{ {{5^{lgx} = 3^{lgy}} \atop {(3x)^{lg3} = (5y)^{lg5}}} ight.
[/tex]
Решить систему логарифмических уравнений. Задача повышенной сложности, 11 класс.

пока лишь часть решения

остальная половина сейчас подъедет

готово

Лучший !)

Для начала заметим, что в первом уравнении системы обе части строго положительны, поскольку степень положительного числа - всегда число положительное, что мы и видим. Значит, я могу прологарифмировать обе части данного равенства. Со вторым равенством поступим аналогично. Почему же здесь обе части положительны? Это происходит вследствие того, что x и y всегда положительны(поскольку иначе быть не может из-за того, что они входят под знаком логарифма в первом равенстве). Значит, основания степеней положительны, а потому, и степени положительны. Поэтому имеем право прологарифмировать обе части. Сделаем это. При этом будем использовать свойства логарифмов.Напомню, что в процессе мы использовали то, что степень выражения под логарифмом я могу спустить и сделать его множителем.Теперь введём замену переменных. Пусть lg (3x) = u, lg(5y) = v. Выразим сами логарифмы lg x и lg y через эти переменные. Для этого используем правило логарифма произведения:lg(3x) = lg3 + lg x, откуда lg x = lg(3x) - lg3 = u - lg3Аналогично,lg(5y) = lg5 + lg y, откуда lg y = lg(5y) - lg 5 = v - lg5Теперь подставляем это в нашу систему:Теперь решаем эту систему. Она заметно проще предыдущей. Как решаем? Обычным способом: путём выражения одной переменной через другую. Допустим, выразим u через v из второго уравнения и подставим в первое.Далее производим подстановочку в первое уравнение, которое упрощаем обычными средствами:Сразу находим, что и u = 0.Далее возвращаемся к обычным переменным:lg(3x) = 0, откуда и lg(5y) = 0, откуда Таким образом, решением системы является пара