Докажите неравенство Коши для n=5. Иными словами, докажите, что [tex] \displaystyle

Докажите неравенство Коши для n=5. Иными словами, докажите, что

[tex] \displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} \geq \sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}[/tex]

Естественно, предполагается неотрицательность всех переменных.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  kassandra
- 5 лет назад

Ответы 6

(1+a)^n => 1 + n*a это?)
- Автор:
  lucastwf4
- 5 лет назад
- 0
Методом мат индукции ж доказывается
- Автор:
  peanuthnfs
- 5 лет назад
- 0
Чтобы неподготовленный читатель не выпал в осадок, на такие вещи нужно ссылаться))
- Автор:
  buddyqpwa
- 5 лет назад
- 0
А по поводу описки - я говорю о 5-й строчке снизу, а не сверху))
- Автор:
  rocha
- 5 лет назад
- 0
А теперь a_n там потеряли...
- Автор:
  bernie
- 5 лет назад
- 0
Выпишем неравенство Бернулли, которое будем использовать в доказательстве: $(1+a)^n \geq 1+na,\,\,\,\,\, a\ \textgreater \ -1$ Нужно доказать, что $A_5 \geq G_5$ . Пусть n>1. Рассмотрим дробь $\dfrac{A_n}{A_{n-1}}>0$ , причем $a_{i}\ \textgreater \ 0,\,\,\,\, i=\overline{1,n}$ $\bigg( \dfrac{A_n}{A_{n-1} }\bigg)^n =\bigg(1+ \dfrac{A_n}{A_{n-1}}-1 \bigg)^n \geq 1+n\cdot\bigg(\dfrac{A_n}{A_{n-1}}-1\bigg)=\\ \\ \\ = \dfrac{A_{n-1}+nA_n-nA_{n-1}}{A_{n-1}} = \\ \\ \\ =\dfrac{nA_n-(n-1)A_{n-1}}{A_{n-1}}= \dfrac{a_1+...+a_n-a_1-...-a_{n-1}}{A_{n-1}} = \dfrac{a_n}{A_{n-1}}$ Доказали, что $\bigg( \dfrac{A_n}{A_{n-1}} \bigg)^n \geq \dfrac{a_n}{A_{n-1}}$ откуда $A^n_n \geq a_n\cdot A^{n-1}_{n-1}$ - вспомогательное неравенство. $A^n_n \geq a_nA^{n-1}_{n-1} \geq a_{n}a_{n-1}A^{n-2}_{n-2} \geq .... \geq a_na_{n-1}...a_1=G^n_n$ Откуда $A_n \geq G_n$ для n=5 можно считать что доказано $A_5 \geq G_5$ или $\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} \geq \sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}$
- Автор:
  jeremías
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Ответы 6

Топ пользователей