Найти интеграл [tex] \int\limits { \frac{\cos^{n-1} \frac{x+a}{2} }{ \sin^{n+1}

Ответы 2

спасибо
- Автор:
  houdini
- 5 лет назад
- 0
Я не знаю, как до этого догадываются без компа, но идея следующая $\displaystyle 1)\quad\frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n+1}((x-a)/2)} = \frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n-1}((x-a)/2)}\frac{1}{\sin^2((x-a)/2)}\\\\ 2)\quad\cos(a) = \cos\left(\frac{x+a}{2}-\frac{x-a}{2}ight) =\\ \cos\left(\frac{x+a}{2}ight)\cos\left(\frac{x-a}{2}ight)+ \sin\left(\frac{x+a}{2}ight)\sin\left(\frac{x-a}{2}ight) =\\2\left[\cos((x+a)/2)\sin'\((x-a)/2) - \cos'((x+a)/2)\sin((x-a)/2) ight]$ После такого возникает синтез $\displaystyle 1+2)\quad\frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n+1}((x-a)/2)} = \\\\ =-n\left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}ight)^{n-1}\left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}ight)'\frac{2}{n\cos a} = \\\\ -\frac{2}{n\cos a}\left[\left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}ight)^{n}ight]'$ От полной производной интеграл взять осталось, правда, легко? $\displaystyle \int\quad\frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n+1}((x-a)/2)}dx =- \frac{2}{n\cos a} \left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}ight)^{n} + C$
- Автор:
  selene
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ