Рассмотрим случай, когда

получаем уравнение

- однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на

либо на

. Поделим на косинус.

P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть

. Но тогда из самого уравнения находим, что и

. Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества

- противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали. Пусть теперь

. Тогда у нас имеется уравнение вида:

Помножим обе части на

с условием, разумеется, что

Имеем систему:

Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.
 \\ sin^{2} x - a sin^{2} x + sinxcosx - a cos^{2} x = 0 \\ (1-a) sin^{2} x + sinxcosx - a cos^{2} x = 0 )
Здесь уже хорошо видно, что если

,то уравнение имеет вид:
 = 0 )
Отсюда

или

Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на

. Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.Пусть

Тогда делим обе части на


Пусть ctg x = t

.Это уравнение является квадратным, поскольку

Его дискриминант
 = 1 - 4 a^{2} + 4a = -(4 a^{2} - 4a - 1))
Далее рассмотрим такие случаи:1)

, тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней. исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
 \ \textless \ 0 \\ 4 a^{2} - 4a - 1 \ \textgreater \ 0)
Ищем корни квадратного трёхчлена:

Решая неравенство, получаем, что при

∈

∞
)
∪

+∞
)
исходное уравнение не имеет решений.2)Если же

, то есть

, что происходит при

∈
)
∪
)
∪
 )
,то квадратное уравнение имеет два различных корня:

Возвращаемся обратно к x:
 + \pi n)
или
 + \pi k)
Вписываются ли эти серии в условие

?Пусть

. Тогда из уравнения моментально получаем, что

, откуда либо a = 0(мы уже рассмотрели его), либо

(что невозможно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех указанных а.3)Осталось рассмотреть две граничные точки(при которых D = 0). а)Если

, то
 + \pi n)
- здесь тоже синус явно отличен от 0. б)Если

, то
 + \pi n)
Таким образом, можем записать ответ к задаче в таком виде:Ответ: при

- уравнение не имеет решений; при

уравнение имеет две серии решений

 + \pi n)
; при

уравнение имеет единственную серию решений

; при

аналогично
)
; при

решений нет.