Пожалуйста, помогите с решением задания
При каком наименьшему натуральном значении b, функция убывает на всей числовой прямой
f(x)=25 - e^x * x^2 - 1/9 * b^2 * e^x

Всегда нужно проверять при b=±3. Вот, например, при b=3 функция убывает на всей числовой прямой.

Извините за придирчивость, но ответ помоему 3)

Да, вы правы, там будет только одна точка решением неравенства, поэтому знак <= во втором неравенстве

Спасибо за подробное объяснение

Найдём производную функции:f(x) = 25 - eˣ·x² - 1/9·b²·eˣf'(x) = -(eˣ·x² + 2x·eˣ) - 1/9b²·eˣ = -eˣ·x² - 2x·eˣ - 1/9b²·eˣ = eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²)f'(x) ≥ 0eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²) ≥ 0eˣ > 0 при любых x, поэтому решаем неравенство только с тем, что в скобках:-x² - 2x - 1/9b² ≥ 0x² + 2x + 1/9b²  ≤ 0Решим уравнение x² - 2x + 1/9b² = 0x² - 2x + 1/9b² = 0D = 4 - 4/9b²Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство будет неверно, а значит, функция будет убывать тогда, когда D ≤ 04 - 4/9b² ≤  0(2 - 2/3b)(2 + 2/3b) ≤ 0(1 - 1/3b)(1 + 1/3b) ≤ 0(-b + 3)(b + 3) ≤ 0(b - 3)(b + 3) ≥ 0  |||||+|||||||||-3                 -              3||||||||+|||||||||||||||      ---------------●----------------------------●--------------------> bНаименьшее натуральное b = 3 (-3 - не натуральное).  Ответ: при b = 3.