Решить дифференциальное уравнение (x+y^2) * y' = y - 1

Ответы 1

Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде: $\displaystyle x'- \frac{x}{y-1} = \frac{y^2}{y-1}$ Полученное последнее диф. уравнение - линейное относительно х и х'.Метод Лагранжа.1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения: $x'- \dfrac{x}{y-1} =0$ Это уравнение с разделяющимися переменными. $\displaystyle dx= \frac{xdy}{y-1} ;\Rightarrow\,\, \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y-1} \Rightarrow\,\, \int\limits \frac{dx}{x} = \int\limits \frac{dy}{y-1} \\ \\ \ln |x|=\ln|y-1|+\ln |C|\Rightarrow\,\,\, x=C(y-1)$ 2) Примем константу за функцию, т.е. $C=C(y)$ $x=C(y)(y-1)$ Дифференцируя по правилу произведения, получим $x'=C'(y)(y-1)+C(y)$ Подставим все это в исходное уравнение, после упрощений имеем $C'(y)= \dfrac{y^2}{(y-1)^2} \Rightarrow\,\, C(y)=y- \dfrac{1}{y-1}+2\ln|y-1|+C_1$ Получаем общее решение: $\boxed{x=(y-1)\bigg(y- \dfrac{1}{y-1}+2\ln|y-1|+C_1 \bigg)}$
- Автор:
  amparorubt
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ