в остроугольном треугольнике авс точки p m основания высот опущенных из вершин а и с соответственно площадь треугольника bmp 10, а угол b 60 градусов найти площадь авс.

Одна из формул: Площадь треугольника равна  половине произведения соседних сторон на  синус угла между ними.

 В прямоугольном треугольнике АВР гипотенуза АВ=ВР:cos60°=2BP

В прямоугольном треугольнике ВМС гипотенуза ВС=ВМ:cos60°=2ВМ

S ∆ BMP=BM•BP•sin60°:2=10

S ∆ BMP=BM•BP•√3/4=10⇒

BM•BP•√3=40 

S ∆ ABC=2BP•2BM•sin60°:2⇒

S ∆ ABC =4 BP•BM√3:4=BM•BP•√3 

BM•BP•√3=40 (см. выше)⇒

Площадь ∆ АВС=40 ед. площади. 

-------

Заметим, что по первой лемме о высотах (Если в треугольнике ABC нет прямого угла, АА1 и ВВ1 ( здесь AР и СМ ) – его высоты, то ∆ А1В1С подобен ∆ ABC. (здесь ∆ МВР~∆ABC)   ∆ АВС и МВР подобны с коэффициентом подобия k=ВР:АВ=2 

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату  коэффициента их подобия, следовательно, 

S ∆ ABC:S∆ MBP=k²=4⇒

S ∆ ABC=4 S∆ MBP=40 ед. площади