Помогите пожалуйста!! Метод математической индукции 1)

Помогите пожалуйста!! Метод математической индукции
1) 1*3+2*3+...+n(2n+1)=n(4n^2+9n+5)\6
2) 1\2*4+1\4*6+...+1\2n(2n+2)=n\4n+4
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  cannolilaht
- 6 лет назад

Ответы 1

1 выражение: С учетом комментариев к задаче: $\dispaystyle 1*3+2*5+...+n(2n+1)= \frac{n(4n^2+9n+5)}{6}$ 1) докажем для n=1 $\dispaystyle 1*3= \frac{1(4+9+5)}{6}\\3= \frac{18}{6}\\3=3$ 2) допустим что равенство справедливо для n=kдокажем что оно справедливо для n=k+1 $\dispaystyle 1*3+2*5+...+k(2k+1)+(k+1)(2k+3)=$ сумма первых слагаемых до n=k по предположению равна дроби. Заменим $\dispaystyle \frac{k(4k^2+9k+5)}{6}+(k+1)*(2k+3)=\\ \frac{k(4k^2+9k+5)+6(2k^2+5k+3)}{6}=\\= \frac{4k^3+9k^2+5k+12k^2+30k+18}{6}=\\= \frac{4k^3+21k^2+35k+18}{6}=\\ \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$ теперь преобразуем правую часть равенства $\dispaystyle \frac{(k+1)(4(k+1)^2+9(k+1)+5)}{6}= \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$ Мы видим что равенство справедливо. Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.2 Выражение: $\dispaystyle \frac{1}{2*4}+ \frac{1}{4*6}+...+ \frac{1}{2n(2n+2)}= \frac{n}{4n+4}$ 1) докажем для n=1 $\dispaystyle \frac{1}{2*4}= \frac{1}{4+4}\\ \frac{1}{8}= \frac{1}{8}$ 2) предположим что равенство справедливо для n=kдокажем что справедливо для n=k+1 $\dispaystyle \frac{1}{2*4}+ \frac{1}{4*6}+...+ \frac{1}{2k(2k+2)}+ \frac{1}{2(k+1)(2k+4)} =\\= \frac{k}{4k+4}+ \frac{1}{4(k+1)(k+2)}= \frac{k(k+2)+1}{4(k+1)(k+2)}=\\= \frac{k^2+2k+1}{4(k+1)(k+2)}= \frac{(k+1)^2}{4(k+1)(k+2)}= \frac{k+1}{4(k+2)}$ рассмотрим правую часть $\dispaystyle \frac{k+1}{4(k+1)+4}= \frac{k+1}{4k+8}= \frac{k+1}{4(k+2)}$ Мы видим что равенство справедливо. Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
- Автор:
  oscarszin
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ