Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • [tex] \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) ^{4}-(n-1) ^{4}}{(n+1) ^{3}+(n-1) ^{3}} [/tex]
    Полностью и досконально расписать как сделали

Ответы 1

  • \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{4}-(n-1)^{4} }{(n+1)^{3}+(n+1)^{3}} Неопределённость оо/оо. Чтобы раскрыть такую неопределённость обычно числитель и знаменатель делят на эн в максимальной степени. Для этого достаточно раскрыть скобки, привести подобные, найти эн в максимальной степени и разделить числитель и знаменатель на него.Что мы и проделаем, но попутно будем делать упрощения, если получится. Для удобства сначала числитель преобразуем, потом знаменатель.Числитель раскладываем по формуле разности квадратов. Причём два раза.(n+1)^{4}-(n-1)^{4}=((n+1)^{2}-(n-1)^{2})*((n+1)^{2}+(n-1)^{2})==((n+1)-(n-1)) * ((n+1)+(n-1)) * ((n+1)^{2}+(n-1)^{2})==( n+1-n+1) * (n+1+n-1) * (n^{2}+2n+1+n^{2}-2n+1)==2 * 2n * (2n^{2}+2)=4n*2(n^{2}+1)=8n(n^{2}+1)Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов(n+1)^{3}+(n+1)^{3}==((n+1)+(n-1))*((n+1)^{2}-(n+1)(n-1)+(n-1)^{2})==2n*(n^{2}+2n+1-n^{2}+1+n^{2}-2n+1)=2n*(n^{2}+3)Находим отношение числителя к знаменателю \frac{8n(n^{2}+1)}{2n*(n^{2}+3)} = \frac{4(n^{2}+1)}{n^{2}+3} Вот теперь переходим непосредственно к нахождению предела. Находим, что максимальная степень эн - это квадрат. Вот на эн в квадрате ( n^{2} ) и будем делить числитель и знаменатель \lim_{n \to \infty} \frac{4(n^{2}+1)}{n^{2}+3}= \lim_{n \to \infty} \frac{4*(1+ \frac{1}{ n^{2}})}{1+ \frac{3}{n^{2}}}= \frac{4*(1+ \frac{1}{oo^{2}})}{1+ \frac{3}{oo^{2}}}= \frac{4(1+0)}{1+0} =4При подстановке бесконечности получаем деление константы на бесконечность, что равно нулю.

    • Автор:

      herring
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years