докажите,что если при некотором натуральном значении n число n^3-n делится на 6,то и число (n+1)^3-(n+1) также делится на 6 

(n+1)^3-(n+1) =(n+1){(n+1)^2-1} = (n+1)(n+1+1)(n+1-1)= n(n+1)(n+2).Натуральные числа, идущие друг за другом. Хотя бы одно из них четное, значит, делится на 2. Хотя бы одно из н кратно 3. Значит, всё произведение кратно 6.