Доказать, что

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}ight)^n}=1[/tex]

f(a) - некоторая функция, т.е. введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям: u=-1 при a=-бесконечность и u=+inf при a=+inf.

Ну это замена

но Вы же не написали какая замена

Также стоит заметить что a^2 = u - ln(u+1) = ln(e^u/(u+1)) и e^(-a^2) = (1+u)*e^(-u)

Третья строка: Пусть u=f(a)

Рассмотрим следующую гамму-функцию: Г(n+1)=xⁿ·e⁻ˣ dx. Положим x=n(1+u), то есть, получаем Г(n+1) = nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ  ((1+u)*e^(-u))ⁿ duПусть u=f(a): Г(n+1)=nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ e⁻ⁿᵃ * f'(a)daПусть n^(-0.5a)=b, имеем Г(n+1) = n^(n+0.5) * e⁻ⁿ   f'(b/√n) dbили это можно переписать в виде При n стремящихся к бесконечности b/√n -> 0, то есть Откуда вытекает формула Стирлинга n!=Г(n+1)=nⁿ e⁻ⁿ √(2πn), то есть