x+2x+...+2012х=-2-4-...-4024

х+2x+...+2012х = -2-4-...-4024
Слева и справа арифметическая прогрессия. 

1) Найдём сумму слева: х+2x+...+ 2012х.

а₁ = х - первый член прогрессии

an = 2012x - n-й член прогрессии

d = x - знаменатель прогрессии

an = a₁+(n-1)d - формула n-ого члена прогрессии

Найдём количество членов n, подставив в формулу вместо а₁ и аn их значения.

x+(n-1)x = 2012x

n = 2012

А теперь по формуле Sn = (a₁+an)*n/2 найдём всю сумму слева.

S₂₀₁₂ = (x+2012x)*2012/2 = 2013x * 2012/2 = 2013x*1006.

 2) Найдём сумму справа: - 2 - 4 - ... - 4024

а₁ = -2

an = -4024

d = -4-(-2) = -2

По формуле an = a₁+(n-1)d найдём n.

-2+(n-1)(-2) = -4024

(n-1)(-2) = -4022

n-1 = -4022 : (-2)

n = 2011 + 1 

n = 2012

 A теперь по формуле Sn = (a₁+an)*n/2 найдём всю сумму справа.

S₂₀₁₂ = (-2-4024)*2012/2 = (-4026)*2012/2 = (-4026)*1006 

3) И, наконец, решаем основное уравнение: 

2013x*1006 = - 4026*1006

2013x = -4026

x = - 4026 : 2013

х = - 2

Ответ: х = - 2