sin^2 (x) и sin (x^2) одно и тоже?

Это не одно и то же.Записаны сложные функции вида y=f(u(x)), где f - внешняя функция, а u(x) - внутренняя функция.В 1 случае (y=sin²x)  функция степенная, основанием степени является функция  u=sinx , она возводится во 2 степень. Внешняя функция степенная, а внутренняя - тригонометрическая. Во 2 случае  (y=sinx² ) функция тригонометрическая, синус, и в аргументе тригонометрической функции стоит степенная функция u=х². Внешняя функция тригонометрическая, а внутренняя - степенная.