Можно ли между числами, выписанными в ряд от 1 до 2018, расставить знаки «+» и «–» так, чтобы сумма равнялась нулю?

Не выходит, в результате либо 1, либо "-1": пар чисел 2018/2=1009, одна пара лишняя.

Кратко, как иной вариант проверки: можно взять пары чисел (1 и 2018), (2 и 2017), (3 и 2016) и так далее. Каждая пара в сумме даёт 2019. Ставя знаки "+" и "-" перед каждой парой, можно попарно получать 0, но пара 1014 и 1015 окажется лишней.

Можно.Для этого надо чередовать пары чисел так, чтобы при сложении  этой пары получалось чередование знаков + и -.1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8  ... + 2015 - 2016 - 2017 + 2018 = 0.   -1       +1       -1        +1    ...             -1                   +1