доказать неравенство a^4+b^4>= a^3b+b^3a

Преобразуем данное неравенство:

a^4+b^4 ≥ a^3b+b^3a ≥ ab(a^2+b^2)

(a^2+b^2)^2 = a^4+2a^2b^2+b^4, а (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2,

тогда a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2, а a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab. Отсюда

(a^2+b^2)^2-2a^2b^2 ≥ ab((a^2+b^2)-2ab)

(a^2+b^2)^2-2a^2b^2 ≥  ab(a^2+b^2) -2a^2b^2

(a^2+b^2)(a^2+b^2)-2a^2b^2 ≥ ab(a^2+b^2) -2a^2b^2

Поскольку a^2+b^2 ≥ ab, (a^2+b^2)^2 ≥ ab(a^2+b^2)

и исходное неравенство доказано.