Докажите ,что при любом натуральном значении n выполняется равенство :
[tex]1*2*3 + 2*3*4 + ... + n(n+1)(n+2) =\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex]

Доказательство можно провести по индукции.Шаг 1. При n = 1 имеем 1 * 2 * 3 = (1 / 4) * 1 * 2 * 3 * 4 - верно.Шаг 2. Предположим, что данное равенство верно, при n = k, то есть:1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = (1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) - верно. Шаг 3. Докажем верность равенства для n = k + 1. Имеем:1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) + (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) = (1 / 4) * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) * (k + 4). Перенесём последнее слагаемое левой части вправо с обратным знаком, а в правой части раскроем скобки последнего множителя (k + 4) почленно перемножив:1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = ((1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) + ((1 / 4) * 4 * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) - (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)). Заметим, что в правой части второе слагаемое равно 0, а оставшееся равенство верно по предположению Шага 2. Доказано.