Во время урока в школе сработала пожарная сигнализация. В классе отсутствовали Петя, Паша и Полина. Учитель знает, что сигнализацию включил один из них. На вопрос, кто это сделал, они дали следующие ответы: Петя: «Я ее не включал, Паша ее не включал». Паша: «Петя ее не включал, ее включила Полина». Полина: «Я ее не включала, это сделал Петя». Позже выяснилось, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий – раз солгал и раз сказал правду. Кто включил пожарную сигнализацию?

Петя:

1) Я не включал.

2) Паша не включал.

Паша:

1) Петя не включал.

2) Включила Полина.

Полина:

1) Я не включала.

2) Включил Петя.

Известно, что один сказал правду оба раза, второй оба раза соврал, третий сказал одну правду и одну ложь.

1) Пусть Петя сказал правду оба раза. Тогда сигнализацию включила Полина. Тогда Паша тоже сказал правду оба раза, а этого не может быть,

2) Пусть Петя оба раза соврал. Тогда сигнализацию включили двое - он и Паша. Такого тоже не может быть.

Значит, Петя один раз сказал правду, а второй раз соврал.

3) Допустим, он сказал правду в 1) пункте и соврал во 2).

Тогда сигнализацию включил Паша.

Но тогда Полина тоже сказала один раз правду и один раз соврала.

Она не включала (правда), и Петя не включал (ложь).

Получается, что двое сказали по одной правде и одной лжи.

Опять получили противоречие.

4) Остается последний возможный вариант:

Петя соврал в 1) пункте и сказал правду во 2) пункте.

Значит, сигнализацию включил он, а Паша не включал.

Тогда Паша оба раза соврал, а Полина оба раза сказала правду.

Ответ: Сигнализацию включил Петя.