Сколько решений имеет уравнение (2x+y)^2=2017+x^2 в целых числах x,y?

 (2x+y)² - х² = 2017

(2х+у-х)(2х+у+х) = 2017

(х+у)(3х+у) = 2017

 Число 2017 - простое. Все делители числа 2017 это 1 и 2017.

(х+у)·(3х+у) = 1·2017

отсюда вытекает только одна система:

{х+у = 1

{3х+у=2017

Из первого уравнения выразим у. 

у=1-х

Подставим у=1-х во второе уравнение и получим: 

3х+1-х = 2017

2х = 2017 – 1

2х = 2016

х = 2016 : 2

х = 1008

Подставим х=1008 в у = 1-х и найдём у. 

у = 1 – 1008

у = - 1007

Получили только 1 решение: х = 1008;  у = - 1007

Проверка:

 (2*1008-1007)² = 2017+1008²

1009² - 1008² = 2017

(1009-1008)(1009+1008) = 2017

1*2017 = 2017

2017 = 2017  верное равенство.

Ответ:  х = 1008;  у = - 1007  только одно решение.