Обозначим S сумму цифр числа 11*степень 2017 *. Найдите остаток от деления S на 9.

Есть такая теорема об остатках при делении на 3 (или на 9). Остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления на 3 (или на 9) его суммы цифр. (Признак делимости на 3 (или на 9) в общем виде).Этим и воспользуемся, найдём остаток от деления числа . Для этого представим число 11 = 9 + 2, как сумму девятки и двойки, а затем возведём в степень 2017 и разложим по формуле бинома Ньютона.В полученном выражении все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9 (там присутствует 9). Аналогично сделаем для последнего слагаемого , проделаем некоторые действия, чтобы появилась девятка.В полученном выражении на 9 не делится только последний член, который и является остатком.Итак, остаток при делении числа на 9 равен 2, значит, остаток от делении суммы его цифр на 9 даёт точно такой же остаток.Ответ: 2