Докажите, что сумма кубов n первых натуральных чисел равна [tex] \frac{n^{2}(n+1)^{2} }{4} [/tex]

Ответы 1

Методом математический индукции. База индукцииn=1 $1^3=1; \frac{1^2*(1+1)^2}{4}=1; 1=1$ -выполняетсяГипотеза индукции Пусть для n=k, утверждение верно, т.ею $1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$ Индукционный переход, докажем, что тогда верно утвеждение при n=k+1, т.е. $1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$ $1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=$ используем гипотезу $\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=$ выносим общий множитель $(k+1)^2(\frac{k^2}{4}+(k+1))=$ к общем знаменателю $\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=$ используем формулу квадрата двучлена $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$ что и требовалось доказать.По принципу математеческой индукции утверждение верно
- Автор:
  reecegoodwin
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы