Найдите все многочлены P(x) и Q(x), удовлетворяющие при всех x
∈ ℝ равенствам P(Q(x)) = x^4 − 5x^2 + 7 и Q(x− 1) = x^2 − 2x − 1

Подставляем в Q(x - 1) вместо x выражение x + 1:Q((x + 1) - 1) = (x + 1)^2 - 2(x + 1) - 1Q(x) = x^2 - 2Подставляем уже найденный Q(x) в первое равенство.P(x^2 - 2) = x^4 - 5x^2 + 7Пусть P(x) = ax^n + ..., проследим за старшей степенью.P(x^2 + ...) = a(x^2 + ...)^n + ... = a x^(2n) + ...Сравниваем с имеющим равенством и получаем, что a = 1, n = 2, т.е. P(x) — приведённый квадратный трёхчлен. Представим его в виде P(x) = x^2 + ux + v и будем искать константы u и v.P(x) = x^2 + ux + vP(x^2 - 2) = (x^2 - 2)^2 + u(x^2 - 2) + vP(x^2 - 2) = x^4 - (4 - u)x^2 + (4 - 2u + v)Выражение в правой части равенства при всех x должно совпадать с x^4 - 5x^2 + 7, при одинаковых степенях должны стоять одинаковые коэффициенты.P(x) = x^2 - x + 1