доказать, что любая натуральная степень числа 15 при делении на 7 датё остаток 1

Остаток от деления 15 на 7 равен 1, т. к. 15 = 2*7 + 1. Рассмотрим n-ю степень числа 15: 15ⁿ = (2*7 + 1)ⁿ = (2*7 + 1)*(2*7 + 1)*...*(2*7 + 1). Имеем n множителей вида (2*7 + 1) и видим, что после перемножения последний член суммы всегда будет 1ⁿ = 1. Т. е. остаток 1 будет сохраняться.