Помогите пожалуйста,срочно надо решить дифференциальное уравнение y'+x^2y=x^2

Помогите пожалуйста,срочно надо решить дифференциальное уравнение y'+x^2y=x^2
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  abby72
- 6 лет назад

Ответы 1

Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.Применим метод Лагранжа или так называемый "метод вариации произвольных постоянных).1) Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: $y'+x^2y=0$ - это уравнение ни что иное как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. $\displaystyle \frac{dy}{y} =-x^2dx~~~\Rightarrow~~~~~ \int\frac{dy}{y} =-\int x^2dx;~~~\Rightarrow~~~~ y=Ce^{-x^3/3}$ 2) Примем нашу константу за функцию, то есть, $C=C(x)$ получим $y=C(x)e^{-x^3/3}$ И тогда, дифференцируя по правилу произведения, получим $y'=C'(x)e^{-x^3/3}-x^2C(x)e^{-x^3/3}$ Подставим теперь все эти данных в исходное дифференциальное уравнение $C'(x)e^{-x^3/3}-x^2C(x)e^{-x^3/3}+x^2C(x)e^{-x^3/3}=x^2\\ \\C'(x)e^{-x^3/3}=x^2~~~\Rightarrow~~~ C(x)=\displaystyle \int x^2e^{x^3/3}dx=\int e^{x^3/3}d\bigg( \frac{x^3}{3}\bigg)=e^{x^3/3}+C_1$ И тогда общее решение неоднородного уравнения: $y=e^{-x^3/3}\cdot(e^{x^3/3}+C_1)=1+C_1e^{-x^3/3}$
- Автор:
  starr
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ