Точки A и B расположены на координатных осях плоскости xOy. Какую наименьшую длину может иметь отрезок AB, если ему принадлежит точка M( 1 ; 8 ) ?

спасибо, еще по поводу 4-ой строки не объясните?

Это пропорциональность двух прямоугольных треугольников, построенных на точках A,B,M - это гипотенузы, а катеты параллельно осям координатам. Или уравнения прямой через две точки.

минимум квадрата расстояния беру постоянно. В производной корень уходит вниз, в знаменатель и больше на результат не влияет.

я все поняла, спасибо вам!

Точка А(x₀;0)Точка B(0;y₀)Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂)(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁)И точка M(1;8) лежит на прямой АВ(x₀-1)/(0-8) = (0-1)/(y₀-8)(x₀-1)/8 = -1/(y₀-8)(x₀-1)(y₀-8) = 8y₀-8 = 8/(x₀-1)y₀ = 8 + 8/(x₀-1) = (8x₀-8+8)/(x₀-1)y₀ = 8x₀/(x₀-1)расстояниеr = √(x₀² + (8x₀/(x₀-1))²)Производная по x₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко)dr/dx = 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²))Приравняем производную к нулю1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²))  = 0Знаменатель отбросим2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²) = 0x(1 - 64/(x-1)³) = 0 x₁ = 0 - не подходит64/(x-1)³ = 1(x-1)³ = 64x-1 = 4x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстоянияx₀ = 5y₀ = 8x₀/(x₀-1) = 40/4 = 10И длина отрезка r = √(5²+10²) = √125 = 5√5