вычислите sin 7п/12 + sin п/12 + cos п/12 -cos 7п/12

Ответ:

\displaystyle \tt \sqrt{3}

Объяснение:

Применим тригонометрические тождества:

\displaystyle \tt 1) \; sin\alpha +sin\beta =2 \cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2} \cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}; \\\\2) \; cos\alpha -cos\beta =-2 \cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2} \cdot sin\frac{\alpha -\beta }{2} .

Тогда

\displaystyle \tt sin\frac{7 \cdot \pi }{12} +sin\frac{\pi }{12} +cos\frac{\pi }{12} -cos\frac{7 \cdot \pi }{12} =\\\\=(sin\frac{7 \cdot \pi }{12} +sin\frac{\pi }{12} )-(cos\frac{7 \cdot\pi }{12} -cos\frac{ \pi }{12})=\\\\=2 \cdot sin\frac{7 \cdot \pi +\pi }{12} \cdot cos\frac{7 \cdot \pi -\pi }{12}-(-2 \cdot sin\frac{7 \cdot \pi +\pi }{12} \cdot sin\frac{7 \cdot \pi -\pi }{12})=

\displaystyle \tt =2 \cdot sin\frac{8 \cdot \pi }{12} \cdot cos\frac{6 \cdot \pi}{12}+2 \cdot sin\frac{8 \cdot \pi }{12} \cdot sin\frac{6 \cdot \pi }{12}=\\\\=2 \cdot sin\frac{2 \cdot \pi }{3} \cdot cos\frac{\pi}{2}+2 \cdot sin\frac{2 \cdot \pi }{3} \cdot sin\frac{\pi }{2}=2 \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} \cdot 0+2 \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} \cdot 1 = \sqrt{3} .