Вычислите интеграл[tex] \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ {0} \, \frac{cosdx}{2sinx+1}

Ответы 1

Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке $[0,\frac{\pi}{2}]$ не обращается в бесконечность. То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке. $\cos x\,dx=d(\sin x)$ $\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x\,dx}{2\sin x+1}=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\sin x}{2\sin x+1}=$ $=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\frac{1}{2}d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x+1)}{2\sin x+1}=$ Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид: $\int\frac{dt}{t}=\ln|t|$ Получается, что $=\frac{1}{2}\ln(2\sin x+1)|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}(\ln|2\sin\frac{\pi}{2}+1|-\ln|2\sin 0+1|)=$ $=\frac{1}{2}(\ln|3|-\ln|1|)=\frac{\ln 3}{2}$ Ответ: $\frac{\ln 3}{2}$
- Автор:
  lexi16
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ