Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y'+y*tg(x)=1/cos(x); y(\pi)

Ответы 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения $y'+ytgx=0$ Это дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными. $\dfrac{dy}{y} =-tg x dx ;~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y} = \dfrac{d(\cos x)}{\cos x} \\ \\ \ln|y|=\ln |\cos x|+\ln C\\ \\ y= C\cos x$ Примем теперь константу за функцию, то есть $C=C(x)$ $y=C(x)\cos x$ Дифференцируем обе части по переменной х. $y'=C'(x)\cos x-C(x)\sin x$ Подставляем эти данные в исходное уравнение, получим $\displaystyle C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\cos x\cdot tg x= \frac{1}{\cos x} \\ \\ C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\sin x=\frac{1}{\cos x}\\ \\ C'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}~~\Rightarrow~~ C(x)=\int \frac{dx}{\cos x}=tg x+C_1$ Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения: $y=(tgx+C_1)\cos x=\sin x+C_1\cos x$ Осталось найти частное решение, подставив начальные условия: $1=\sin \pi +C_1\cos \pi \\ 1=-C_1\\ C_1=-1$ $\boxed{y=\sin x-\cos x}$ - частное решениеP.S. уравнение решено методом Лагранжа.
- Автор:
  magdalena39
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы