1.           На колі розставлено 2010 точок. Кожен з двох гравців за один хід може з'єднати будь-які точки відрізком, що не перетинає відрізки, які раніше вже були проведені. Програє той, хто не може зробити свій черговий хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш? Відповідь обґрунтувати.

Кількість точок на колі 2010 - парне число!Перший гравець може забезпечити собі виграш наступним чином. Перший хід - зєднати дві діагонально протилежні точки (точки 1 і 1006 - далі пояснення)(тобто якщо позначити послідовно одна за одною точки кола номерами від 1 до 2010, то такими будуть точки 1 і 1006,2 і 1007, ...1005 і 2010),топоділимо коло "навпіл" (так як невідомо чи рівномірно розкидані точки). "Навпіл" мається на увазі "симетрично", тобто якщо гравець 2 може зробити хід наприклад зєднати точки 2 і 107 наприклад, то гравець один зможе відповісти "симетричним" відповідним ходом 1007 і 1112 (тобто відповідними діагональними точками) на іншій "половині" кола, і навпаки. Тобто якщо після першого ходу першого гравця 1-1006, на кожен хід другого гравця у першого завдяки обраній стратегії "діагональних точок" буде відповідний "симетричний" хід.Число точок скінченне, а значить і число можливих відрізків, які можна провести.Значить настане момент коли другий гравцеь не зможе зробити чергового ходу. В цей момент він програє.