Решите уравнение: 2sin2x + 1,5sin2x – 3cos2x = 1

Сначала просто приведем подобные:2*sin2x+1,5sin2x-3cos2x=13,5sin2x-3cos2x=1Теперь распишем синус и косинус двойного угла по известным правилам: sin2x=2sinx*cosx и cos2x=cos²x-sin²x. Получим:3,5*(2*sinx*cosx)-3*(cos²x-sin²x)=17*sinx*cosx-3*cos²x+3*sin²x=1Далее используем известное тригонометрическое тождество:sin²x+cos²x=1 и подставим в правую часть равенства вместо 1 это выражение, получим:7*cosx*cosx-3*cos²x+3*sin²x=sin²x+cos²xперенесем все слагаемые в левую часть равенства и получим:7*cosx*cosx-3*cos²x+3*sin²x-sin²x-cos²x=0Приведем подобные:2*sin²x+7*sinx*cosx-4*cos²x=0Данное равенство очень похоже на квадратное уравнение, но мешает то, что есть два неизвестных: синус и косинус. Разделим обе части равенства на cos²x (обязательно учитывая в ответе условие cos²x≠0):2*(sin²x/cos²x)+7*sinx*cosx/cos²x-4*cos²x/cos²x=0 (в правой части был 0, а это число при делении на любое другое число не изменится). Упростим запись выражения как tgx=sinx/cosx2*tg²x+7*tgx-4=0Теперь выполним временную замену t=tgx и получим квадратное уравнение:2*t²+7*t-4=0D=7²-4*2*(-4)=49+32=81t₁=(-7+√81)/(2*2)=(-7+9)/4=2/4=1/2t₂=(-7-√81)/(2*2)=(-7-9)/4=-16/4=-4Итак, получим два уравнения вида:tgx=1/2tgx=-4Тангенс имеет период, равный π, поэтому получим:x=arctg(1/2)+kπ, k∈Nx=arctg(-4)+kπ, k∈NРешение не противоречит условию cos²x≠0 или x≠π/2+kπ, k∈NПоэтому два полученных значения x можно считать решением заданного уравнения.