x^8 + 4x^2 + 4

Требуется разложить данный многочлен с решением ОБЯЗАТЕЛЬНО. Буду проверять решение. Не срочно. Если его невозможно разложить, хочу видеть подробное доказательство

Отличная работа! Это была олимпиадная задача, при чем олимпиада проходила для всех, кто увлекается математикой как наукой. Туда съехались со всей столицы. И я не встретил там человека который смог разложить. Олимпиада проходила для любых учащихся 10-11х классов или колледжей или лицеев

Самый быстрый способ разложить на множители с помощью формулы разности квадратовx⁸ + 4x² + 4 = Задача выполнена. Многочлен разложен на произведение комплексных чисел. На этом можно было бы и закончить, потому как в условии ничего не сказано, на какие множители нужно раскладывать. Но следом возможен вопрос о разложении на множители без использования мнимой единицы.Такое разложение не будет столь простым.Предположим, что данный многочлен можно представить опять же в виде разности квадратов двух многочленов.x⁸ + 4x² + 4 = = (x⁴ + ax³ + bx² + cx +2)² - (mx³ + nx² + px)²Добавлять во вторую скобку слагаемое  x⁴ и  свободный член нецелесообразно, так как при возведении первой скобки в квадрат (x⁴)² = x⁸  и   2² = 4Итак, используя формулу квадрата суммы, раскроем скобки:(x⁴ + ax³ + bx² + cx +2)² - (mx³ + nx² + px)² = = x⁸ + a²x⁶ + b²x⁴ + c²x² + 4 + 2ax⁷ + 2bx⁶ + 2cx⁵ + 4x⁴ +        + 2abx⁵ + 2acx⁴ + 4ax³ + 2bcx³ + 4bx² + 4cx -         - m²x⁶ - n²x⁴ - p²x² - 2mnx⁵ - 2mpx⁴ - 2npx³ == x⁸ + 2ax⁷ + (a² + 2b - m²)x⁶ + (2c +2ab -2mn)x⁵ +        + (b² + 4 + 2ac - n² - 2mp)x⁴ + (4a + 2bc - 2np)x³ +       + (c² + 4b - p²)x² + 4cx + 4 =                                                   = x⁸ + 4x² + 4Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны.2ax⁷ = 0x⁷    ⇒    a = 04cx = 0x      ⇒    c = 0(a² + 2b - m²)x⁶ = 0x⁶    ⇒  2b = m²(4a + 2bc - 2np)x³ = 0x³   ⇒   np = 0(2c + 2ab - 2mn)x⁵ = 0x⁵   ⇒  mn = 0(b² + 4 + 2ac - n² - 2mp)x⁴ = 0x⁴   ⇒  b² + 4 = n² + 2mp(c² + 4b - p²)x² = 4x²     ⇒    4b = p² + 4np = 0  и  mn = 0      Пусть  n = 0. Тогда остаётся система из трёх уравнений с тремя неизвестными1) 2b = m²2) 4b = p² + 43) b² + 4 = 2mpРешением этой системы являются  b = m = p = 2x⁸ + 4x² + 4 = = (x⁴ + ax³ + bx² + cx +2)² - (mx³ + nx² + px)² = = (x⁴          + 2x²         +2)² - (2x³           + 2x)² == (x⁴ + 2x² + 2 + 2x³ + 2x)(x⁴ + 2x² + 2 - 2x³ - 2x)Ответ: возможные варианты разложения на множителиx⁸ + 4x² + 4 = x⁸ + 4x² + 4 = (x⁴ + 2x² + 2 + 2x³ + 2x)(x⁴ + 2x² + 2 - 2x³ - 2x)