1-cos6x=tg3x

с пояснениями, пожалуйста

Ответ:

\boldsymbol{\boxed{\left[ \begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{3} , k \in \mathbb Z \\ x = \dfrac{\pi n}{3} , n \in \mathbb Z \end{gathered} \right}}

Примечание:

\text{tg} \ \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }

\cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha \ - \sin^{2} \alpha

\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \Longrightarrow \sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha

Объяснение:

1 - \cos 6x = \text{tg} \ 3x

1 - \cos 6x = \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}

----------------------------------------

ОДЗ: \cos 3x \neq 0

3x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb Z \bigg |:3

x \neq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{ \pi m}{3} , m \in \mathbb Z \bigg

----------------------------------------

1 - \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} = \cos (2 \cdot 3x)

1 - \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} = \cos^{2} 3x - \sin^{2} 3x

\dfrac{\cos 3x -\sin 3x}{\cos 3x} = (\cos 3x -\sin 3x)(\cos 3x +\sin 3x)

\dfrac{\cos 3x -\sin 3x}{\cos 3x} - (\cos 3x -\sin 3x)(\cos 3x +\sin 3x) = 0

\bigg(\cos 3x -\sin 3x \bigg) \bigg(\dfrac{1}{\cos 3x} - \cos 3x -\sin 3x \bigg) = 0

\left[ \begin{gathered} \bigg(\cos 3x -\sin 3x \bigg) =0 \\ \bigg(\dfrac{1}{\cos 3x} - \cos 3x -\sin 3x \bigg) = 0 \end{gathered} \right

а)

\bigg(\cos 3x -\sin 3x \bigg) =0

\cos 3x = \sin 3x|:\cos 3x

\text{tg} \ 3x = 1

3x = \text{arctg} \ 1 + \pi k, k \in \mathbb Z |:3

x = \dfrac{\pi}{4} :\dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi k}{3} , k \in \mathbb Z

x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{3} , k \in \mathbb Z

б)

\bigg(\dfrac{1}{\cos 3x} - \cos 3x -\sin 3x \bigg) = 0 \bigg | \cdot \cos 3x

1 - \cos^{2} 3x - \cos 3x \sin 3x = 0

\sin^{2} 3x - \cos 3x \sin 3x = 0

\sin 3x(\sin 3x - \cos 3x) = 0

-\sin 3x(\cos 3x - \sin 3x) = 0

\left[ \begin{gathered} \bigg(\cos 3x -\sin 3x \bigg) =0 \\ -\sin 3x = 0 \end{gathered} \right

-\sin 3x = 0 |\cdot (-1)

\sin 3x = 0

3x = \pi n, n \in \mathbb Z|:3

x = \dfrac{\pi n}{3} , n \in \mathbb Z

---------------------------------------------------

\left[ \begin{gathered} \bigg(\cos 3x -\sin 3x \bigg) =0 \\ \bigg(\dfrac{1}{\cos 3x} - \cos 3x -\sin 3x \bigg) = 0 \end{gathered} \right

\left[ \begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{3} , k \in \mathbb Z \\ x = \dfrac{\pi n}{3} , n \in \mathbb Z \end{gathered} \right

#SPJ1