x^{2}+y^{2}+10x+6y+34=0
Решить уравнение

x^2+10x+25+y^2+6y+9=0(x+5)^2+(y+3)^2=0Поскольку квадрат любого числа неотрицательный, а тут сумма двух квадратов равна нулю, значит, и первая и вторая сумма равна нулю. То есть x+5=0, y+3=0. Отсюда x=-5, y=-3.