теория вероятности! срочно

Число перестановок

Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅nPn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n

Число размещений

Anm=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)Amn=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Число сочетаний

Cmn=AmnPm=n!m!⋅(n−m)!Cnm=AnmPm=n!m!⋅(n−m)!

2. Классическое определение вероятности

P(A)=mn,P(A)=mn,где mm - число благоприятствующих событию AA исходов, nn - число всех элементарных равновозможных исходов.

Подробнее о классической вероятности см. в онлайн-учебнике и калькуляторах решений.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

Примеры решений и теория по алгебре событий тут.

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B|A),P(A⋅B)=P(B)⋅P(A|B).P(A⋅B)=P(A)⋅P(B|A),P(A⋅B)=P(B)⋅P(A|B).

P(A|B)P(A|B) - условная вероятность события AA при условии, что произошло событие BB,

P(B|A)P(B|A) - условная вероятность события BB при условии, что произошло событие AA.

Подробнее об условной вероятности.

5. Формула полной вероятностиP(A)=∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),P(A)=∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),

где H1,H2,...,HnH1,H2,...,Hn - полная группа гипотез.

6. Формула Байеса (Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотезP(Hm|A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)P(A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),P(Hm|A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)P(A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),

где H1,H2,...,HnH1,H2,...,Hn - полная группа гипотез.

Примеры и теория на эту тему.

7. Формула БернуллиPn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=n!k!⋅(n−k)!⋅pk⋅(1−p)n−kPn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=n!k!⋅(n−k)!⋅pk⋅(1−p)n−kвероятность появления события ровно kk раз в nn независимых испытаниях, pp - вероятность появления события при одном испытании.

Еще полезное по формуле Бернулли теория и примеры, онлайн-калькуляторы.

8. Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число k0k0 появления события при nn независимых испытаниях (где pp - вероятность появления события при одном испытании):

np−(1−p)≤k0≤np+p.np−(1−p)≤k0≤np+p.

Вычислить наивероятнейшее значение онлайн.

9. Локальная формула ЛапласаPn(k)=1npq−−−√φ(k−npnpq−−−√)Pn(k)=1npqφ(k−npnpq)

вероятность появления события ровно kk раз при nn независимых испытаниях, pp - вероятность появления события при одном испытании, q=1−pq=1−p. Значения функции φ(x)φ(x) берутся из таблицы.

10. Интегральная формула ЛапласаPn(m1,m2)=Φ(m2−npnpq−−−√)−Φ(m1−npnpq−−−√)Pn(m1,m2)=Φ(m2−npnpq)−Φ(m1−npnpq)

вероятность появления события не менее m1m1 и не более m2m2 раз при nn независимых испытаниях, pp - вероятность появления события при одном испытании, q=1−pq=1−p. Значения функции Φ(x)Φ(x) берутся из таблицы.

Теория и примеры на формулы Муавра-Лапласа.

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности ppP(∣∣mn−p∣∣≤ε)=2Φ(ε⋅np(1−p)−−−−−−−√)P(|mn−p|≤ε)=2Φ(ε⋅np(1−p))

εε - величина отклонения, pp - вероятность появления события.