Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Нужно довести равность, но всё никак не получается. Поможете?

    question img

Ответы 1

  • Существует нечто похожее на признак Д'Аламбера, только вместо сходимости ряда мы рассматриваем сходимость последовательности.Теорема:Пусть дана некая положительная последовательность \displaystyle (a_n). Обозначим \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =L.Если L\ \textless \ 1 то \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0.Доказательство:Предположим что L\ \textless \ 1, тогда по признаку Д'Аламбера ряд {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}} сходится. Следовательно благодаря необходимому признаку сходимости рядов, получим:\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0Прошу обратить внимание что я не показал полную теорему (в ней оговорен случай на L>1 и L = ∞, а именно то что при данных значениях L последовательность стремиться к  ∞), так как нам потребуется лишь первая часть теоремы. Так как наша последовательность положительная, получаем:\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(2n+3)!} : \frac{(2n)^n}{(2n+1)!}= \frac{(2n+2)^{n+1}(2n+1)!}{(2n)^n(2n+3)!}=\\\\=\left(1+ \frac{1}{n} ight)^n \cdot \frac{1}{2n+3}ightarrow e\cdot 0=0 Стрелочка в конце выражения эквивалентна знаку предела для последовательности (т.е. она означает "стремится к").Благодаря нашей теореме мы сразу получаем нужный результат, а именно то что последовательность стремится к нулю. 

    • Автор:

      macy57
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years