Помогите решить ЕГЭ!
пусть s(n) обозначеет сумму цифр натурального числа n...

1) Воспользуемся тем что, остаток от деления числа на 3, равен остатку от деления суммы цифр этих чисел на 3. Тогда 2015=3*671+1 ( остаток равен 1) , («/» значит сравнение по модулю) 2n+S(n) / 1 mod 3 Используя выше перечисленный факт, положим что n=3a+b , тогда S(n)=3x+b Откуда 2n+S(n) = 6a+3x+3b / 1 mod 3 , но 6a+3x+3b всегда делится на 3 , значит таких чисел нет . 2) аналогично 2014=671*3+1 ( остаток равен 1) n=3a+b , тогда 4n+S(n)=12a+4b+3x+b=3(4a+x)+5b / 1 mod 3 5b / 1 mod 3 Так как b=0,1,2 перебирая , получаем что при b=2 , 10 / 1 mod 3 Тогда 12a+3x+10=2014 Откуда 4a+x=668 , и так как n<=503 , откуда 3x+2<=(4+9+9) (499 как число с максимальной суммой цифр) Откуда x<=6 перебирая , получаем что таких чисел нет. 3) 9*k*n+S(n) = 5005 Сравним по модулю 9 , так как 5005 = 556*9+1 Так как n двузначное , то n=10a+b проставляя 9k*(10a+b)+(a+b)=5005 Или по остаткам 9kb+a+b / 1 mod 9 b(9k+1)+a / 1 mod 9 b+a / 1 mod 9 То есть , двузначное число n Такое , что сумма его стар делится на 9 с остатком 1 , значит a+b=10 , так как 19 не подходит , потому что n двузначное. Значит n=9a+10 Откуда 9*k*(9a+10)+10=5005 a=(555-10k)/(9k) 555=5*3*37 Перебирая , подходит только k=15 a=3 , b=7 Ответ n=37 , k=15