Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • решить неравенство
    2 log2(x корень из 5)- log2(x/1-x)меньше или равно log2(5x^2+1/x-2)

    question img

Ответы 1

  • Левая часть неравенства определена только при 0 < x < 1.При таких x следующие переходы не меняют множество решений:\displaystyle 2\log_2(x\sqrt 5)-\log_2\left(\frac x{1-x}ight)\leqslant\log_2\left(5x^2+\frac1x-2ight)\\ \log_2\left(5x^2\cdot\frac{1-x}xight)\leqslant\log_2\left(5x^2+\frac1x-2ight)\\ 5x(1-x)\leqslant5x^2+\frac1x-2\quad|\cdot x\ \textgreater \ 0\\ 5x^2(1-x)\leqslant5x^3-2x+1\\ 5x^2-5x^3\leqslant 5x^3-2x+1\\ 10x^3-5x^2-2x+1\geqslant0\\ 5x^2(2x-1)-(2x-1)\geqslant0\\ (5x^2-1)(2x-1)\geqslant0\\ \left(x+\frac{\sqrt5}5ight)\left(x-\frac{\sqrt5}5ight)\left(x-\frac12ight)\geqslant0 В приведённых переходах имеет смысл пояснить только переход от второй строчки к третьей. Во-первых, логарифм по основанию 2 – возрастающая функция, так что знак при отбрасывании логарифмов остается прежним. Во-вторых, на 0 < x < 1 левая часть неравенства положительна, тогда правая часть (не меньшая левой) тоже положительна, значит, никаких дополнительных условий на положительность логарифмируемого выражения писать не нужно.Полученное неравенство легко решается методом интервалов, получаем предварительный ответ\displaystyle x\in\left[-\frac{\sqrt5}5,\frac{\sqrt5}5ight]\cup\left[\frac12,\inftyight)После учета неравенства 0 < x < 1 окончательно имеем\displaystyle \boxed{x\in\left(0,\frac{\sqrt5}5ight]\cup\left[\frac12,1ight)}

    • Автор:

      beaneph5
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years