Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 35. Якщо до першого і другого додати по 1, а від третього відняти 4, то отримані числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

Решение задания приложено

Искомые числа а, b и с образуют геометрическую прогрессию,

числа (а+1), (b+1) и (с-4) образуют арифметическую прогрессию.

Составим систему:

{a + b + с = 35                     [по условию]

{(c-4)-(b+1) = (b+1)-(a+1)      [свойство арифметической прогрессии]

{a + b + с = 35

{c - 4 - b - 1 = b + 1 - a - 1

{a + b + с = 35

{а - 2b + с = 5

вычтем нижнее уравнение из верхнего, получим:

      3b = 30

        b = 10 - второе число

Сумма оставшихся двух чисел а и с равна 35 - 10 = 25

По свойству геометрической прогрессии: b² = а*с

Снова составим систему:

{а + с = 25   ⇒   с = 25-а

{а * с = 10²

подставляем значение с в нижнее уравнение, решаем:

а(25-а) = 10²

25а - а² - 100 = 0   |*(-1)

a² - 25a + 100 = 0

D = 625 - 400 = 225 = 15²

a₁ = (25-15)/2 = 5        ⇒       c₁ = 25 - 5 = 20

a₂ = (25+15)/2 = 20     ⇒       c₂ = 25 - 20 = 5

Получили два ответа:

1) а=5; b=10; с=20

2) а=20; b=10; с=5

Проверим ответы.

1)

5; 10; 20 - геометрическая прогрессия (знаменатель = 2)

к первому и второму числам прибавим 1, от третьего отнимем 4, получим:

6; 11; 16 - арифметическая прогрессия (разность = 5)

2)

20; 10; 5 - геометрическая прогрессия (знаменатель = 1/2)

к первому и второму числам прибавим 1, от третьего отнимем 4, получим:

21; 11; 1 - арифметическая прогрессия (разность = -10)