прямая линия y = 7x + 9 является касательной к графику функций y = [tex] y = x^{3} - 2x^{2} + 8x + 9 [/tex] Найдите абсциссу точки касания.

Уравнение касательной:

y = f(x0) + f'(x0)*(x-x0)

В данном случае: y = 7x + 9

=> f'(x0) = 7

f'(x) = 3x^2 - 4x + 8

Найдем возможные x0 из уравнения f'(x) = 7;

3x² - 4x + 8 = 7

3x² - 4x + 1 = 0

D = 16 - 4*3 = 4

x₁ = (4+2)/2*3 = 6/6 = 1

x₂ = (4-2)/2*3 = 2/6 = 1/3

Найдем точки пересечения графика функции и касательной:

x³ - 2x² + 8x + 9 = 7x + 9

x³ - 2x² + x = 0

x(x² - 2x + 1) = 0

x(x - 1)² = 0

x = 0 или x = 1

=> x₂ = 1/3 не подходит.

Ответ: 1.