К графику функции y=x^2/2 проведены касательные, проходящие через точку M(1/2, -1) найдите площадь четырехугольника, образованного этими касательными и осями координат

Производная функции у = х²/2 равна (1/2)*2х = х.

Уравнение касательной: у(кас) = y'(xo)*(x - xo) + y(xo).

Так как касательная проходит через точку М((1/2)4 -1), то подставим её координаты в уравнение.

-1 = xo((1/2) - xo) + (xo²/2).

-1 = (xo - 2xo² + xo²)/2.

Получаем квадратное уравнение:

хо² - хo - 2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

xo_1=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;

xo_2=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.

Получили 2 точки касания хo = -1 и хo = 2.

Определяем уравнения касательных.

ук1 = -1(х + 1) + (1/2) = -х - (1/2).

ук2 = 2(х - 2) + 2 = 2х - 2.

Находим координаты точки их пересечения:

-х - (1/2) = 2х - 2,

3х = 1,5 = 3/2,

х = 1/2, у = -(1/2) - (1/2) = -1. Точка ((1/2); -1).

Находим координаты точек пересечения касательных с осями координат: с осью Ох пересекается:

- кас(1), при этом у = 0: -х - (1/2) = 0. х = -(1/2),

- кас(2), при этом у = 0: 2х - 2 = 0. х = 1.

С осью Оу пересекается:

- кас(1), при этом х = 0: у = -2.

Полученный четырёхугольник разобьём на 2 фигуры: прямоугольная трапеция и прямоугольный треугольник. Их площади равны соответственно S1 и S2.

S1 =(((1/2) + 1)/2)*(1/2) = 3/8.

S2 = (1/2)*1*(1/2) = 1/4 = 2/8.

Тогда искомая площадь S = S1 + S2 = (3/8) + (2/8) = 5/8.