log по основанию 2 в квадрате (4+3x-x в квадрате ) + 7 log по основанию 0,5 (4+3x-x в квадрате) + 10 >0

Если я правильно понял:

(log₂(4+3x-x²))²+7log₀,₅(4+3x-x²)+10>0

ОДЗ:

4+3x-x²>0

(4-x)(x+1)>0

_–___+___–

-----o-----o----->

__-1___4___x

x∈(-1;4)

Основание 0,5 представляем как 2^-1 и -1 выносим:

(log₂(4+3x-x²))²-7log₂(4+3x-x²)+10>0

Делаем замену: t=log₂(4+3x-x²)

t²-7t+10>0

(t-2)(t-5)>0

t∈(-∞;2)U(5;+∞)

Переходим к совокупности:

[log₂(4+3x-x²)<2 (1)

[log₂(4+3x-x²)>5 (2)

Решаем (1):

log₂(4+3x-x²)<2

log₂(4+3x-x²)<log₂(2²)

4+3x-x²<4

3x-x²<0

x(3-x)<0

x∈(-∞;0)U(3;+∞)

Аналогично решаем (2) и получаем, что нет решений.

Тогда остается решение (1) и, согласуя с ОДЗ, переходим к системе:

{x∈(-∞;0)U(3;+∞)

{x∈(-1;4)

Находим пересечение и получаем, что x∈(-1;0)U(3;4).

Ответ: x∈(-1;0)U(3;4).