Решите уравнение tg(x-pi/4)=2ctgx+1

2ctg(x)+1=tg(x-п/4)

tg(x-п/4)-2ctg(x)=1

sin(x-п/4)/cos(x-п/4)-2•cos(x)/sin(x)=1

-----

sin(x-п/4)=

=sin(x)cos(п/4)-cos(x)sin(п/4)=

=sin(x)•√2/2-cos(x)•√2/2=

=√2/2(sin(x)-cos(x))

-----

Аналогично:

cos(x-п/4)=

=√2/2(sin(x)+cos(x))

-----

Возвращаемся к уравнению:

(sin(x)-cos(x))/(sin(x)+cos(x))-2•cos(x)/sin(x)=1

Приводим к общему знаменателю:

(sin²x-3sin(x)cos(x)-2cos²x)/(sin²x+sin(x)cos(x))=1

sin²x-(3/2)•sin(2x)-2cos²x=sin²x+sin(x)cos(x)

-3sin(2x)-4cos²x=2sin(x)cos(x)

-3sin(2x)-4cos²x-sin(2x)=0

-4sin(2x)-4cos²x=0

-8sin(x)cos(x)-4cos²x=0

-4cos(x)(2sin(x)+cos(x))=0

Отсюда

cos(x)=0 (1)

и 2sin(x)=cos(x) (2)

(1)

cos(x)=0

x=п/2+пk

(2)

и 2sin(x)=cos(x) |:cos(x)

2tg(x)=-1 <=> tg(x)=-1/2

x=-arctg(1/2)+пk

Ответ:

x=п/2+пk, k∈Z

x=-arctg(1/2)+пk, k∈Z