Найдите значение параметра а, при котором множество всех решений неравенства: √x^2+2x<√a+2x-1 составляет промежуток [0;√3)

√(x² + 2x) < √(a + 2x - 1)

x² + 2x ≥ 0

x² + 2x < a + 2x - 1

x(x + 2) ≥ 0

x² < a - 1

x ∈ (-∞; -2] ∪ [0; +∞)

x ∈ (-√(a - 1); √(a - 1))

Поскольку решением системы являтся промежуток: х ∈ [0; √3), получаем:

√(a - 1) = √3

a - 1 = 3

а = 4

√(x²+2x)<√(a+2x-1)

ОДЗ:

x²+2x>0

x(x+2)>0

x∈(-∞;-2)U(0:+∞)

И еще условие:

a+2x-1>0 <=> a>1-2x

√(x²+2x)<√(a+2x-1)

x²+2x<a+2x-1

a>x²+1

Получили график стандартной параболы, сдвинутой вверх по у на единицу. Строим его.

Так как а больше, то делаем штриховку области выше параболы.

Вспоминаем ОДЗ, а точнее условия:

x∈(-∞;-2)U(0:+∞)

a>1-2x

Так как есть ограничение на x, удаляем из графика ту часть, где x не существует.

А поскольку есть еще ограничение в виде неравенства, то строим график прямой и делаем штриховку области выше этой прямой.

Теперь остается найти a в точке x=√3 - это и будет то самое a, при котором неравенство будет иметь лишь решения x∈[0;√3):

a=x²+1=(√3)²+1=4

Проверим:

√(x²+2x)<√(2x+3)

ОДЗ:

{x²+2x>0

{2x+3>0

Получаем x∈[0;+∞)

√(x²+2x)<√(2x+3)

x²+2x<2x+3

x²<3

|x|<√3 => x∈(-√3;√3)

Учитывая ОДЗ, получаем конечный ответ: x∈[0;√3). Верно!

Значит a=4 - то самое значение.

Ответ: a=4.