2(x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n)

Если надо найти некую рекурентную функцию выражающую сумму , то

S = 2(x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n) = 2(2x+3x^2+4x^3+5x^4+...(n+1)x^n-(x+x^2+x^3+x^4+...+x^n))

Так как A(x)=x^2+x^3+x^4+...+x^(n+1)

то

A’(x)=2x+3x^2+4x^3+...+(n+1)x^n

По сумме геометрической прогрессии

A(x) = (x^2*(x^n-1)/(x-1))

A’(x) = (x^(n+1)*(nx-n+x-2)-x^2+2x)/(x-1)^2

И

B(x) = x+x^2+...+x^n = x*(x^n-1)/(x-1)

Вычитывая

S = 2(A’(x)-B(x)) =

2*((x^(n+1)*(nx-n+x-2)-x^2+2x)/(x-1)^2 - x*(x-1)*(x^n-1)/(x-1)^2) =

2x*(n*x^(n+1)-x^n*(n+1)+1)/(x-1)^2

Обозначим . Тогда . Вычислим :

В скобках получилась сумма геометрической прогрессии. Используем известную формулу и получаем

Эта формула годится для всех x ≠ 1. При x = 1 выражение не определено, сумма выглядит так:

В этом случае по формуле для суммы арифметической прогрессии