Найти все значения параметра а, при которых уравнение
|x²+ax|=-3a
имеет два корня

(1) имеет два решения , но (2) не имеет решения ИЛИ наоборот

Ворую часть сложно было осознать) Спасибо за комментарий! А можно было после системы просто сразу рассмотреть D1>0 и D2>0 ?

Дано уравнение  |x² + ax| = -3a.       ОДЗ: -3а ≥ 0,   a ≤ 0.

Оно равносильно системе:

{x² + ax + 3a = 0              {x² + ax + 3a = 0        (1)

{-x² - ax + 3a = 0|*(-1)       {x² + ax - 3a = 0.        (2)

Найдём граничные значения а, при которых уравнение имеет 1 решение.

Для этого приравниваем нулю дискриминант.

(1) Д = а² - 12а = а(а - 12) = 0.

Получаем а = 0 и а = 12 (это значение не проходит по ОДЗ).

(2) Д = а² + 12а = а(а + 12) = 0.

Получаем а = 0 и а = -12.

Методом интервалов определяем соответствие значения а заданному условию.

Значение а больше 0 не проходит по ОДЗ.

Значение а меньше -12 даёт 4 корня заданного уравнения.

Ответ: a ∈ (-12; 0).